内積・ノルムとは
内積は2つのベクトルの積を表します。
高校では、あるベクトル\(\vec{a}=\left( \begin{array}{ccc} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)\)と\(\vec{b}=\left( \begin{array}{ccc} b_1\\ b_2 \end{array} \right)\)について
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\mathrm{cos}\theta$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 $$
といった書き方で表してきました。大学で学ぶ線形代数では、内積は2つのベクトル$\bf{a}$と$\bf{b}$を用いて
$$( {\bf{a}} , {\bf{b}} ) = a_1 b_1 + a_2 b_2 $$
と定義されます。左辺のような書き方には馴染みが無いかもしれませんが、こういうものだと慣れていきましょう。内積にはいくつかの性質が存在します。また、新しくノルムというワードも登場します。詳しく解説しているサイトがありますので、見ていきましょう。
問題例
イメージを掴むため、簡単な問題例を紹介します。
Q. 2つのベクトル \({\bf{a}}=\left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 5 \\ 4 \end{array} \right)\)と\({\bf{b}}=\left( \begin{array}{ccc} 8 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)\) がある。これらのベクトルの内積を求めよ。また、それぞれのベクトルのノルムを求めよ。
おすすめの解説サイト
おすすめの解説サイトを紹介していきます。
内積
線形代数を宇宙一わかりやすく解説してみるサイト
ビジュアル的に見やすく、とてもわかりやすいサイトです。行列を用いた線形代数的な書き方に慣れていない方にはおすすめなサイトになります。
スマナビング！
高校数学で学んだ内積の定義からしっかり復習。計算のルールや垂直（直交）条件などの応用の仕方にも触れられています。また、レポート問題に出されそうな絶対値付きのベクトルの問題など例題も掲載しており、おすすめです。
武内＠筑波大
筑波大の先生がまとめている線形代数の教科書的なサイトです。ここには冒頭で触れた、内積が持つ重要な性質が書かれています。各性質の左辺や右辺に内積の定義式を代入して、実際にその性質が成り立つか確かめてみましょう。
※そういう問題も多いですよね！例えば今回の場合であれば、左辺は(\a,\b)のような内積の形をしていますよね。そこに先に示した定義を用いて、左辺をベクトルの成分表示に書き直してください。それを右辺のような内積の書き方に変換できれば証明終了ですっ！
あくまで教科書的な書き方のサイトではありますがおすすめです。
k-san.link
情報量の多いサイトです。だいたいのことはここに載っています。イチからちゃんと理解したいという方や、計算例を見て学びたいという方にはおすすめです。
ノルム
武内＠筑波大
ノルムの定義が書かれています。知ってしまえばなんだそんなことか、という感じだと思います。線形代数を勉強し始めた方は、随分と先にまたノルムが登場します。とりあえずノルムとは何か、だけでも覚えちゃいましょう。
同志社大講義ノート
同志社大の先生が書かれている講義ノートをまとめたサイトです。計算例やノルムの持つ性質の記述があります。参考に御覧ください。
最後に
例題として紹介した問題の答えは
内積
$$( {\bf{a}} , {\bf{b}} ) = 2 \times 8 + 5 \times 0 + 4 \times 6 = 40 $$
ノルム
$$\|{\bf{a}}\| = \sqrt{2 \times 2 + 5 \times 5 + 4 \times 4} = 3\sqrt{5}$$
$$\|{\bf{b}}\| = \sqrt{8 \times 8 + 0 \times 0 + 6 \times 6} = 10$$
でした。解けましたか～？
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