数ベクトルの基礎と線形結合 数学 線形代数

コーシー=シュワルツの不等式、三角不等式

数ベクトルの基礎と線形結合

コーシー=シュワルツの不等式、三角不等式とは

コーシー=シュワルツの不等式とは

コーシー=シュワルツの不等式とは一体何でしょうか。Wikipediaによると

コーシー=シュワルツの不等式とは、内積空間における二つのベクトルの間の内積がとりうる値をそれぞれのベクトルのノルムによって評価する不等式である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

とあります。ピンときませんね。数式にすると

$$|( {\bf{a}}, {\bf{b}} )| \le \|{\bf{a}}\| \cdot \|{\bf{b}}\|$$

となります。ノルムが登場しました。
※ノルムについてはこちらのページを参照くだいさい!

なお、この不等式はノルムを使わずに\sum_{i=1}^{n} のようにシグマを使った成分表示での書き方もあります。どちらも同じものですので大丈夫ですよ!

三角不等式とは

三角不等式とはなんでしょうか。数式で表すと

$$ \| {\bf{a}} + {\bf{b}} \| \le \|{\bf{a}}\| + \|{\bf{b}}\| $$

となります。Wikipediaによると

数学における三角不等式(さんかくふとうしき、triangle inequality)は、任意の三角形に対してその任意の二辺の和が残りの一辺よりも大きくなければならないことを述べるものである[1][2]

https://ja.wikipedia.org/wiki/三角不等式

名前通りで、こちらは何のことかわかりやすいですね!

しかしこの記事を見られている方は線形代数の課題などで「これを証明しろ」と言われているのではないでしょうか。安心してください。これらの証明を掲載してくれているサイトがあります。見ていきましょう!

おすすめの解説サイト

おすすめの解説サイト、特に証明を掲載しているサイトを紹介していきます。

コーシー=シュワルツの不等式

スマナビング!

不等式の紹介と証明をしています。ノルムを用いた書き方と成分表示での書き方どちらも載っており、証明についてもじっくり優しい解説になっています。
2次元平面ベクトルの場合とn次元の一般のベクトルの場合の証明があります。特にn次元の時の証明で用いられている手法は一番オーソドックスかと思います。

計量線形空間の定義/意味からコーシー=シュワルツの不等式まで解説
計量(内積)ベクトル空間の定義・意味からノルムの性質を解説しました。後半では、有名不等式であるコーシー=シュワルツの不等式との関係・証明についても紹介しています。

高校数学の美しい物語

こちらもn次元の一般のベクトルの場合の証明が掲載されています。スマナビング!がノルムの書き方での証明であるのに対し、こちらは成分表示のままで証明しています。手法はどちらも同じなので、課された問題にあわせて使っていくといいでしょう。

コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明 | 高校数学の美しい物語
応用範囲の広いコーシー・シュワルツの不等式を紹介します。シュワルツの不等式を判別式を用いてエレガントに証明します。

数学大好き(個人サイト)

あ、たしかにね!という手法で証明しています。でもレポートにそのまま載せると△かも…なんともいえないです。でも理解は深まると思うので紹介させていただきました!

内積とノルム

三角不等式

武内@筑波大

筑波大学の先生が筑波大の先生がまとめている線形代数の教科書的なサイトです。スパッと証明を掲載されています。これを見たら勝ち、チャンピオンです。

線形代数I/内積
培風館「教養の線形代数(五訂版)」に沿って行っている授業の授業ノート(の一部)です。(カリキュラムと教科書との間のギャップを調整中の内容です)\bma=\begin{bmatrix}a_1\a_2\\vdots\a_n\end{bmatrix},\bmb=\begin{

最後に

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