数ベクトルの基礎と線形結合 数学 線形代数

線形独立と線形従属(1次独立と1次従属)①【初学者向け】

数ベクトルの基礎と線形結合

線形独立・線形従属とは

線形独立・線形従属は線形代数序盤で引っかかりやすいポイントかと思います。わかったつもりでいても、問題で線形独立を示せと言われると難しく感じたりします。ですが、これからも度々登場するのでここでしっかりマスターしましょう。

線形独立・線形従属は線型独立・線型従属や1次独立・1次従属と書くことも多くあります。全部同じ意味ですが、ここでは線形独立・線形従属で統一しようと思います。

さて、線形独立かどうかの判定にはいろいろな方法があります。

  1. 連立方程式を作り、ベクトルの係数をじっくり解いていく方法
  2. 列ベクトルを横に繋げた行列を簡約化し、ベクトルの係数を解く方法
  3. 列ベクトルを横に繋げた行列の階数(rank)を計算し、ベクトルの数との相違をみる方法
  4. 列ベクトルを横に繋げた行列の行列式を計算し、0になるかどうかで判定する方法

最初は1番上をやります。学習が進むと2つ目以降の方法が使えるようになってきます。今は何を言っているのかわからなくても大丈夫ですが、勉強するとこの判定の問題も簡単に解けるようになります。

ここでは主に、線形独立と線形従属とはなんぞや、という点と初学者向けの判定などの解法を紹介することにします。行列計算やrankや行列式を用いてなぜ判定ができるのか、またその詳しいやり方については今後更新予定の記事をご覧いただければと思います。では早速見ていきましょう!

おすすめの解説サイト

続いておすすめの解説サイトを紹介していきます。

おぐえもん.com

こちらもビジュアル的に見やすいサイトです。他のサイト様と比べても、具体例を用いたじっくり優しい解説がなされています。線形独立とか言われても何言ってんのかわかんねえよ!という方はまずはこちらのサイトをご覧になるといいかと思います。

線形独立の判定についても、はじめに教わる「1.連立方程式をちまちま解くやり方」から「3.行列の階数(rank)を用いたやり方」につなげていくような解説がされています。

【連立方程式編】1次独立と1次従属
1次独立と1次従属の違いについて説明した上で、両者と階数rankAの関連について調べます。

線形代数を宇宙一わかりやすく解説してみるサイト

当サイトでもおなじみのこのサイトですが、ビジュアルがよく非常に見やすいサイトです。具体例を示して解説しているので、

線形独立の判定には「2.拡大係数行列の簡約化」を用いた方法を紹介しています。このやり方についても、図を用いてわかりやすく示しているのでおすすめです。

線形代数における1次独立と1次従属についてわかりやすく解説する | 線形代数を宇宙一わかりやすく解説してみるサイト
今回はベクトルの1次独立と1次従属を解説していくよ! 頑張ってついていきます! さて、今回はベクトルの1次独立と1次従属についてです。 少し聞き慣れない言葉かもしれませんが、ベクトルの足し算やかけ算を使ったあまり難しい内容ではないので安心してください。 ではさっそく学んでいきましょう! 1次結合って何? 1次独立と1次...

高校数学の美しい物語

わかりやすい例として2つの平面ベクトルを挙げ、図形的な意味も含め線形独立についてシンプルに解説しています。線形独立の判定は、2つの平面ベクトルにおいて連立方程式的な解き方を紹介。難しいことはここでは触れていないので、初学者の方におすすめのサイトです。

ベクトルの一次独立,一次従属の定義と意味 | 高校数学の美しい物語
ベクトルの一次独立,一次従属の定義と意味について。高校数学で扱う平面ベクトルの具体例を中心に解説します。

ヨビノリ

線形代数といえばこれ!YouTubeで人気の「予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」」です。とてもわかりやすく解説されています。

【大学数学】線形代数入門④(一次独立と一次従属)【線形代数】

レポート問題の解答のために

海洋大学講義資料(PDFファイル)

線形独立かどうかの判定、及び線形従属の場合に1つのベクトルを他のベクトルの線形結合で表す問題の解法・解答例が掲載されています。行列を使わず、連立方程式を解く手法をとっています。
この他、文字$a$を含んだベクトルの組が線形独立であるときの$a$の条件を求める問題もあります。これらは最も鉄板の問題なので、非常に参考になると思います。

http://www2.kaiyodai.ac.jp/~yoshi-s/Lectures/LAlgebra/2008-2nd/ex_LA_2nd_4_ans.pdf

工学院大学講義資料(PDFファイル)

上の海洋大学講義資料と同じような内容です。こちらも解答例がわかりやすく紹介されています。

https://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/lecture/senkei/senkei05-ans.pdf

同志社大学講義資料

rankや行列式、連立方程式もいらない特殊な問題(「基本ベクトルの1次独立性」や「1, $x$, $x^2$, …, $x^n$というベクトルの1次独立性(n次の多項式っぽいやつ)」など)が掲載されています。線形代数の習い始めでは、よくレポートに出題されます。

3.10 ベトクルの 1 次独立と 1 次従属
3.10 ベトクルの 1 次独立と 1 次従属

スマナビング!

「あるベクトルを線形独立な複数のベクトルで表すとき、そのベクトルの係数は1通りしかない」の証明と、それを用いて「交点の位置ベクトル」を線形独立なベクトルの和で表す問題の解説がなされています。

ベクトルの一次独立って何?「わかった!」を増やします~数bベクトル
『ベクトルが分からない!』人にはじめから教える数学Bベクトル入門。 シリーズ第2回は「ベクトルの一次独立」です。文章だけで無く解説写真を使ってわかりやすくしています。

神奈川大学講義資料(PDFファイル)

大量の例題、特に証明問題があります。
・標準ベクトルの組は線形独立(P112)
・零ベクトルを含むベクトルの組は線形従属(P113)
・多項式環における元1, $x$, $x^2$は線形独立(P113)
・ベクトルの組が線形従属であることと、その内少なくとも1つのベクトルが他のベクトルの線形結合で書けること(P113)
・n個のベクトルの組が線形独立であればそこから1つ取り除いたn-1個のベクトルの組も線形独立(P114)

http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/linear_alg/linear_alg_2017_02_28.pdf#page=112

知恵袋

線形結合で表せることの証明や線形独立を数学的帰納法を用いた証明

線形代数の問題です。(1)一般に、k個のベクトルa1,・・・,akが線形独立で、k+1個のベクトルa1,・・・ak,ak+1が線形従属な... - Yahoo!知恵袋
線形代数の問題です。(1)一般に、k個のベクトルa1,・・・,akが線形独立で、k+1個のベクトルa1,・・・ak,ak+1が線形従属ならak+1はa1,・・,akの線形独立であることを示せ。 (2)固有値q1,q2がq1≠q2ならば、それに対応する固有ベクトルx1,x2は線形独立であることを示せ。(3)q1,q2,・...

ベクトル空間と線形独立の証明問題

線形独立の証明問題です。教えてください! - 代数学の線形独立を証明する問題です。-----------------------... - Yahoo!知恵袋
線形独立の証明問題です。教えてください! 代数学の線形独立を証明する問題です。--------------------------------------【問題】Vをベクトル空間とし、x1,x2,x3…xnE(element)Vは、Vの生成系であるとする。これらのn個のベクトルx1,x2,x3…xnから任意の1個を取り...

線形独立の条件について

線形独立の証明問題です。(ⅰ)~(ⅲ)まできれいに模範的証明できるかた、お願いします。厳密にお願いします。画像小さいのでこちらから飛んで... - Yahoo!知恵袋
線形独立の証明問題です。(ⅰ)~(ⅲ)まできれいに模範的証明できるかた、お願いします。厳密にお願いします。画像小さいのでこちらから飛んでください m×n行列AをA=とおく。a_iは縦ベクトルであり、R^mのベクトル。a_1,a_2,…,a_nの任意の線形結合t_1a_1+t...

 簡単な線形独立の証明

線形独立の問題です。この問題の解き方を教えてください。少し前にもう一つ質問を投稿いたしましたのでよろしければそちらの方もよろしく... - Yahoo!知恵袋
線形独立の問題です。この問題の解き方を教えてください。少し前にもう一つ質問を投稿いたしましたのでよろしければそちらの方もよろしくお願いします。 a₁x₁+a₂(x₁+x₂)+a₃(x₁+x₂+x₃)=0とすると(a₁+a₂+a₃)x₁+(a₂+a₃)x₂+a₃x₃=0x₁,x₂,x₃の線形独立性よりa₁+a₂+a₃=...

最後に

いかがでしたか。お求めのサイトや資料は見つかったでしょうか。

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