数ベクトルの基礎と線形結合 数学 線形代数

線形結合(一次結合)

数ベクトルの基礎と線形結合

線形結合とは

大学数学で恐らく初めて「線形」というワードを耳にしますよね。なんじゃそら!
さて、線形結合とはなんでしょうか。

線型結合は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/線型結合

いきなり漢字が違いますが、「線形」「線型」どちらでも大丈夫です。また、Wikiにもあるように線形結合は「一次結合」とも言います。大学の先生が使ってる方で覚えてください。

いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v = (2, 3) と w = (1, 2) を用いて 2v + 3w のようにすれば、(7, 12) というベクトルを作ることができる。このように、いくつかのベクトルを何倍かしたものを足し合わせたものを、それらのベクトルの線型結合というのである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/線型結合

これが全てです。今回はこれで終わりにしてもいいくらいです…。
といってもWikiはWikiなので、しっかり解説しているサイトを紹介します。この線形結合の考え方は線形代数の基本になります。あやふやにせず、しっかり理解してマスターしましょう。

問題例

ここで簡単な問題例を紹介します。

Q. $\bf{a} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 2\end{array} \right)$, $\bf{b} = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 4 \\ 3\end{array} \right)$ とする。$\bf{c} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1\end{array} \right)$ を$\bf{a}$と$\bf{b}$の線形結合で表わせ。

おすすめの解説サイト

続いておすすめの解説サイトを紹介していきます。

線形代数を宇宙一わかりやすく解説するサイト

線形結合について簡単に解説をしています。ビジュアル的にみやすくおすすめのサイトです。

線形代数における1次独立と1次従属についてわかりやすく解説する | 線形代数を宇宙一わかりやすく解説してみるサイト
今回はベクトルの1次独立と1次従属を解説していくよ! 頑張ってついていきます! さて、今回はベクトルの1次独立と1次従属についてです。 少し聞き慣れない言葉かもしれませんが、ベクトルの足し算やかけ算を使ったあまり難しい内容ではないので安心してください。 ではさっそく学んでいきましょう! 1次結合って何? 1次独立と1次...

武内@筑波大

筑波大の先生がまとめている線形代数の教科書的なサイトです。教科書的な表記で簡潔にまとめられています。「一次結合により生成される空間」は線形結合が何を意味するのかイメージを掴むのにとても重要な情報です。

線形代数I/ベクトル空間と線形写像
培風館「教養の線形代数(五訂版)」に沿って行っている授業の授業ノート(の一部)です。数ベクトル(縦):\begin{bmatrix}a_1\a_2\\vdots\a_n\end{bmatrix}数ベクトル(横):\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{b...

神奈川大講義資料(PDFファイル)

神奈川大の線形代数の講義資料になります。111ページからの17章で線形結合や線形独立についての解説があります。大学の講義がベースなので、ビジュアルよりも情報量や重視されていますが、自分が大学でもらった講義資料や教科書よりわかりやすく、しっかり読むと力になると思います。

http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/linear_alg/linear_alg_2017_02_28.pdf#page=111

知恵袋

何かと役に立つ知恵袋。信頼しすぎるのもだめですが、使える情報は自分で見極めて使っていきましょう。

・線形結合で表すとは

線形結合で表すってどういうことですか? - 「XをYの一次結合で表す。」というような言葉の使い方をする。Xは一つのベクトル、... - Yahoo!知恵袋
線形結合で表すってどういうことですか? 「XをYの一次結合で表す。」というような言葉の使い方をする。Xは一つのベクトル、Yはベクトルの集合である。以下の例では、c1,c2,...,cnなどは係数(スカラー)とする。例1uは{v1}の一次結合で表すことができる。⇔あるc1について、u=c1v1という関係が成り立つ。例2...

レポート問題の解答のために

知恵袋

いきなり知恵袋ですが、線形結合に関する最も基礎的な問題なので紹介します。この質問は3つのベクトルの線形結合を用いて基本ベクトル ${\bf{e_1}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$ を表わせ、という問題と線形独立を示す問題です。

線形結合、線形独立についての質問です。 - a=(1,0,1),b=(-1,1,2),c=(1,-2,-3)に対して(1),(2)... - Yahoo!知恵袋
線形結合、線形独立についての質問です。 a=(1,0,1),b=(-1,1,2),c=(1,-2,-3)に対して(1),(2)の問いにそれぞれ答えよ。(1)a,b,cの線形結合によってe1=(1,0,0)を表せ。(2)a,b,cが線形独立であることを示せ。 xa+yb+zc=e1とおくとx-y+z=1y-2z=0x+2...

海洋大講義資料(PDFファイル)

問1で、ベクトルの組が線形独立かの判定と、線形従属の場合にはどれか1つのベクトルを他のベクトルで表す、という問題が掲載されています。もちろん解答つきです。

http://www2.kaiyodai.ac.jp/~yoshi-s/Lectures/LAlgebra/2008-2nd/ex_LA_2nd_4_ans.pdf

名古屋大講義資料(PDFファイル)

問題2で、線形独立であるベクトルの組ともう一つのベクトルを考えたときに、それらすべてのベクトルの組が線形従属であることと、「もう一つのベクトル」が「線形独立であるベクトルの組」のベクトルの線形結合で表せることと同値であることを示す問題が掲載されています。これはよくある問題なので、非常に参考になると思います。

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~namikawa/download/LA06w-ex1r.pdf

神奈川大講義資料(PDFファイル)

先にも登場したこの資料ですが、これは例題や命題とその解答が豊富に揃っていることも特徴です。線形結合については
命題17.2.5
:線形従属であることと線型結合で書けることの関係(証明付き)
例題17.3.3
:ベクトルの組が線形従属の場合にどのベクトルが他のベクトルの線形結合で書けるか。
命題18.1.2. 命題18.1.3.
:部分空間の証明や部分集合の内包関係の証明と線形結合の問題
補題18.2.5.
:線形結合と線形独立性の証明
命題20.1.7.
:線形写像の線形性(線形結合で書けること)の証明
例20.1.8.
と数多くあります。上記リンクをクリックするとそのページに飛びます。

最後に

例題として紹介した問題の答えは

$$\bf{c} = 2 \bf{a} – \bf{b}$$

でした。解けましたか~?

いかがでしたか。お求めのサイトや資料は見つかったでしょうか。

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